12小球问题与三进制解法(包括13小球)

　　(网易BLOG不能用了，迁移过这里暂存一下。这是来自2008-05-30 21:00:33的回忆)

　　12小球的问题，现在网上很多地方都有提到三进制解法，但对于求解过程和原理都模糊其辞，说不清楚。尤其是如何获取编码的问题，还没有简单易行的手段。本文将清楚的描述编码过程、提供简易有用的编码方法，并解释清楚其中的原理。

　　问题是这样的：12个球，其中有一个球与其他重量不同。(不知是重还是轻！) 用天平称三次，找出它，并指出它是轻了还是重了。（如果是13小球，则只能知道是哪个，不能知道实际轻重）

　　最好的解决方法，是使用三进制。（其实也不知道这能不能用“三进制”来概括，只是姑且这么说说）

　　在使用三进制之前，先看看最容易想到的方法，是逻辑判断法。

　　这只是一个例子，并没有从原理上解决问题。当小球数量发生变化的时候，就必须重新想一个方案，使用不同的判断流程。对需要的人来说，流程也不是很好理解。

　　目前大家比较认可的数学解法，是使用3进制。

　　先将12个小球进行编码，规则是：大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　１、使用0，1，2三个数字，编码成3位的号码，一共有27个。

　　２、去掉其中3个3位一样的编码000、111、222，还剩下24个。

　　这里，先提出【对称】这个定义，所谓对称，是指：以某个数字为对称轴，保持不变，另外两个数字互相换成对方的情况。如001，按0对称是002，按1对称是221，按2对称是110。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　３、把这24个编码按开头的数字分成3组，称为0组、1组、2组。

　　４、从0组任取4个编码，每取出一个同时删除3个组中的对称编码，取完4个之后，1组、2组也只剩下了4个编码，一共剩下12个编码。（任取是真的任取，因此最终的结果不是唯一的。）

　　这样操作之后，剩下的12个编码就作为12个小球的编码，其中一个例子如下：

　　下面开始使用天平。

　　将第一位为1的4个小球放在天平左边，第一位位2的4个小球放在天平右边，并记录结果，平衡记为0，左边轻记为1，右边轻记为2。

　　将第二位为1的4个小球放在天平左边，第二位为2的4个小球放在天平右边，并记录结果。

　　将第三位为1的4个小球放在天平左边，第三位为2的4个小球放在天平右边，并记录结果。

　　三次的结果记录下来也形成了一个编码，如010，002等。

　　这个结果的编码对应的小球就是有差异的小球了。如果编码能直接找到，表示这个小球比正常的轻，否则使用其相对0的对称编码一定可以找到，这时候找到的小球也是有差异的小球，但是表示这个小球比正常的重。

　　为什么会出现按0对称编码才能找到小球的情况呢？因为，我们记录规则是【左边轻为1，右边轻为2】，同时，称量的规则是【左边放1，右边放2】。因此在差异球比较轻的情况下，结果编码会与放置编码相同；差异球比较重的情况下，结果编码会与放置编码相反。大佬们都在玩{精选官网网址: www.vip333.Co }值得信任的品牌平台!

　　就是这样了。

　　如果是13个小球，只需要对12个进行编号，第13个不必编号。如果按照上述条件能有结果，那么除了知道是哪个球异常，还能知道轻重。如果结果是000则表示问题小球是没有编码的第13个球。此时不知道它是轻还是重。

　　另外，编码的位数，即等于需要使用天平的次数。因此，可以从数学上计算出12个小球需要3次天平才能得到结果。计算公式如下： ， N就是需要使用天平的次数，在这里等于3。

　　所以，使用N次天平可以称出 个小球中的差异球，就是说，39个小球可以使用4次天平得到结果，3个小球使用2次天平。3个以下就不能使用天平称出来了。

　　从信息量看， ，排除没有异常的000，似乎是可以有13对代码的，也就是说如果把一开始被我抛弃的111，222两组代码利用起来，可能有一种办法可以直接从13个小球中找到差异球并知道它的轻重。但是我没有想出来。